Операции с пределами и без

В следующей таблице собраны названия функций — команды для воспроизведения названий математических операций наподобие

$Операции с пределами и без$

и т.п., обозначаемых последовательностью букв, набираемых прямым шрифтом. Любую из этих операций можно снабдить верхним и/или нижним индексом .

$Операции с пределами и без$	\log
$Операции с пределами и без$	\lg
$Операции с пределами и без$	\ln
$Операции с пределами и без$	\arg
$Операции с пределами и без$	\ker
$Операции с пределами и без$	\dim
$Операции с пределами и без$	\hom
$Операции с пределами и без$	\deg
$Операции с пределами и без$	\exp
$Операции с пределами и без$	\sin
$Операции с пределами и без$	\arcsin
$Операции с пределами и без$	\cos
$Операции с пределами и без$	\arccos
$Операции с пределами и без$	\tan
$Операции с пределами и без$	\arctan
$Операции с пределами и без$	\cot
$Операции с пределами и без$	\sec
$Операции с пределами и без$	\csc
$Операции с пределами и без$	\sinh
$Операции с пределами и без$	\cosh
$Операции с пределами и без$	\tanh
$Операции с пределами и без$	\coth

В этой таблице обозначения

$Операции с пределами и без$

и т.д. — не что иное, как принятые в англоязычной литературе обозначения для тангенса, арктангенса и т.д. В отечественной литературе, однако же, принято обозначать

$Операции с пределами и без$

и т.д. Так как в стандартном комплекте TeX'а или LaTeX'а команд для этого нет, их приходится, при необходимости, определять самому. Это просто: надо подключить пакет amsmath, после чего добавить в преамбулу такую строчку:

\DeclareMathOperator{\tg}{tg}

В первом аргументе команды \DeclareMathOperator ставится придуманное вами имя команды (незанятое, естественно), во втором — то, что вы хотите получить на печати. Содержимое второго аргумента будет обработано, как математическая формула, но при этом символы - (дефис), * и ' будут иметь такое же значение, как в обычном тексте (это удобно, если вы хотите, чтобы имя вашего нового оператора включало тот же дефис). Разумеется, \DeclareMathOperator должно следовать в преамбуле документа после \usepackage{amsmath}.

Если не подключать amsmath, то собственную функцию, например tangens, определить также можно. Для этого достаточно написать в преамбуле документа \newcommand{\tg}{\mathop{\mathrm{tg}}\nolimits} После этого команда \tg будет создавать в математической формуле запись

$Операции с пределами и без$

с правильными пробелами вокруг нее. Другие команды такого типа определяются аналогично, надо только вместо tg написать то название функции (скажем, arctg), которое должно появиться на печати.

В частности, так приходится делать, чтобы определить команды \Re и \Im для обозначения вещественной и мнимой части комплексного числа; в LaTeX'е такие команды есть, но на печати они дают не

$Операции с пределами и без$

, а

$Операции с пределами и без$

, что не принято в России (да и на Западе не очень принято).
При этом, поскольку обозначения \Re и \ Im уже заняты, приходится говорить \renewcommand вместо \newcommand:

\renewcommand{\Im}{\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits} Даже при подключенном пакете \amsmath команда \DeclareMathOperator в этом месте не сработает, т.к. уже существующие команды она не переопределяет.

Описанный выше способ определения команд для функций является частным случаем существующей в LaTeX'е конструкции для (пере)определения новых команд (см. лекцию 7).

Еще один символ, который принято набирать прямым шрифтом, — это символ

$Операции с пределами и без$

, используемый в записи "сравнений по модулю". Обычно он употребляется не сам по себе, а в сочетании со знаком

$Операции с пределами и без$

(см. пример ниже); в этом случае для записи сравнения удобна команда \pmod, которой пользуются так:

$Операции с пределами и без$

Легко видеть, что $23^{1993}\equiv 1\pmod{11}$

Обратите внимание, что скобки вокруг

$Операции с пределами и без$

получаются автоматически; правая часть сравнения — весь текст, заключенный между \equiv и \pmod.

Если подключить пакет amsmath , то станут доступны команды \mod и \pod, обозначающие то же понятие, что \mod, другими способами:

$Операции с пределами и без$

$a^{p-1}\equiv 1\mod p$

$a^{p-1}\equiv 1\pod p$

Иногда символ

$Операции с пределами и без$

используется и как символ бинарной операции, например, так:

$Операции с пределами и без$

$f_*(x)=f(x)\bmod G$

Как видно из примера, в этом случае надо писать \bmod.

Теперь обсудим, как можно было бы получить, скажем, формулу

$Операции с пределами и без$

c дополнительными элементами над и под знаком операции. В данной формуле эти элементы называются "пределы суммирования", поэтому в TeX-нической терминологии записи над и под знаком операции принято называть "пределами" (по-английски limits). В исходном тексте "пределы" обозначаются точно так же, как индексы; имея в виду, что знак суммы генерируется командой \sum, заключаем, что вышеназванную формулу можно получить так:

$Операции с пределами и без$

В этом примере существенно, что формула была выключной; во внутритекстовой формуле "пределы" печатаются на тех же местах, что и индексы:

$Операции с пределами и без$

Тот факт, что $\sum_{i=1}^n (2n-1)=n^2$ следует из формулы для суммы арифметической прогрессии.

(можно добиться, чтобы пределы и во внутритекстовой формуле были сверху и снизу — см.

ниже). Вот список операций, ведущих себя так же, как \sum:

$Операции с пределами и без$	\sum
$Операции с пределами и без$	\prod
$Операции с пределами и без$	\bigcup
$Операции с пределами и без$	\bigcap
$Операции с пределами и без$	\coprod
$Операции с пределами и без$	\bigoplus
$Операции с пределами и без$	\bigotimes
$Операции с пределами и без$	\bigodot
$Операции с пределами и без$	\bigvee
$Операции с пределами и без$	\bigwedge
$Операции с пределами и без$	\biguplus
$Операции с пределами и без$	\bigsqcup
$Операции с пределами и без$	\lim
$Операции с пределами и без$	\limsup
$Операции с пределами и без$	\liminf
$Операции с пределами и без$	\max
$Операции с пределами и без$	\min
$Операции с пределами и без$	\sup
$Операции с пределами и без$	\inf
$Операции с пределами и без$	\det
$Операции с пределами и без$	\Pr
$Операции с пределами и без$	\gcd

Если подключить пакет amsmath, то будут доступны еще шесть операций такого типа:

$Операции с пределами и без$	\varlimsup
$Операции с пределами и без$	\varliminf
$Операции с пределами и без$	\injlim
$Операции с пределами и без$	\projlim
$Операции с пределами и без$	\varinjlim
$Операции с пределами и без$	\varprojlim

Примеры:

$Операции с пределами и без$

$\varlimsup_{n\to\infty} a_n=\inf_n\sup_{m\ge n}a_m$

$\mathcal F_x= \varinjlim_{U\ni x}\mathcal F(U)$

(см. далее по поводу \mathcal).

Кроме того, пакет amsmath предоставляет возможность определить и собственную команду "с пределами". Для этого надо воспользоваться командой \DeclareMathOperator*; синтаксис этой команды такой же, как у команды \DeclareMathOperator , но при "операторе", определенном такой командой, " пределы" будут ставиться так же, как при

$Операции с пределами и без$

.

Еще одна "математическая операция", для которой требуются " пределы", — это интеграл. В LaTeX'е есть команды \int для обычного знака интеграла

$Операции с пределами и без$

и \oint для знака "контурного интеграла"

$Операции с пределами и без$

; если подключить пакет amsmath, то станут доступны также команды \iint, \iiint и \iiiint для двойного, тройного и " четверного" интегралов (если просто написать несколько команд \int подряд, то между знаками интеграла получатся слишком большие пробелы).

При этом, для экономии места, пределы интегрирования помещаются не сверху и снизу от знаков интеграла, а по бокам (даже и в выключных формулах):

$Операции с пределами и без$

$$ \int_0^1x^2 dx=1/3 $$

Если, тем не менее, необходимо, чтобы пределы интегрирования стояли над и под знаком интеграла, то надо непосредственно после \int записать команду \limits, а уже после нее — обозначения для пределов интегрирования:

$Операции с пределами и без$

$$ \int\limits_0^1 x^2 dx=1/3 $$

Тот же прием с командой \limits можно применить, если хочется, чтобы во внутритекстовой формуле "пределы" у оператора стояли над и под ним, а не сбоку.

Если, с другой стороны, надо, чтобы в выключной формуле " пределы" у какого-либо оператора стояли не над и под знаком оператора, а сбоку, то после команды для знака оператора надо записать команду \nolimits, а уже после нее — обозначения для "пределов"

$Операции с пределами и без$

$$ \prod\nolimits_{i=1}^ni=n! $$

Содержание раздела

Главная сайта